绝对值练习题

在数学学习中，绝对值是一个非常重要的概念。它表示一个数到原点的距离，因此总是非负的。理解绝对值的性质和应用，对于解决各种数学问题都至关重要。下面我们通过一些练习题来加深对绝对值的理解。

练习题 1

求解以下方程的解：

\[ |x - 3| = 5 \]

解析：根据绝对值的定义，方程可以分为两种情况：

1. \( x - 3 = 5 \)

2. \( x - 3 = -5 \)

分别解这两个方程，得到：

1. \( x = 8 \)

2. \( x = -2 \)

因此，方程的解为 \( x = 8 \) 或 \( x = -2 \)。

练习题 2

已知 \( |a + b| = 7 \)，且 \( a = 4 \)，求 \( b \) 的值。

解析：将 \( a = 4 \) 代入方程，得到：

\[ |4 + b| = 7 \]

同样，根据绝对值的定义，方程可以分为两种情况：

1. \( 4 + b = 7 \)

2. \( 4 + b = -7 \)

分别解这两个方程，得到：

1. \( b = 3 \)

2. \( b = -11 \)

因此， \( b \) 的可能值为 \( 3 \) 或 \( -11 \)。

练习题 3

比较以下两组数的大小：

\[ |x - 2| \quad \text{和} \quad |x + 2| \]

解析：要比较这两组数的大小，需要考虑 \( x \) 的取值范围。通过分析可以发现：

- 当 \( x > 0 \) 时， \( |x - 2| < |x + 2| \)

- 当 \( x < 0 \) 时， \( |x - 2| > |x + 2| \)

- 当 \( x = 0 \) 时， \( |x - 2| = |x + 2| \)

因此，具体大小关系取决于 \( x \) 的取值。

练习题 4

求解不等式：

\[ |2x - 1| < 3 \]

解析：根据绝对值不等式的性质，可以将其转化为：

\[ -3 < 2x - 1 < 3 \]

接下来，解这个双区间不等式：

1. \( 2x - 1 > -3 \) 得 \( x > -1 \)

2. \( 2x - 1 < 3 \) 得 \( x < 2 \)

因此，不等式的解集为 \( -1 < x < 2 \)。

通过以上练习题，我们可以看到绝对值在数学中的广泛应用。掌握绝对值的性质和解题技巧，不仅有助于解决具体的数学问题，还能培养逻辑思维能力。希望这些练习题能帮助大家更好地理解和运用绝对值的概念！