在数学学习中，关于平方根与算术平方根的概念常常容易混淆。今天我们将通过一道典型例题来深入理解这两个概念，并逐步解出未知数 a 和 b 的值。

题目如下：

> 已知 2a - 1 的平方根为 ±3，且 3a - 2b + 1 的算术平方根为 ±3。

一、理解题意

首先，我们需要明确两个关键术语：

- 平方根：一个数的平方根有两个，正和负。例如，9 的平方根是 ±3。

- 算术平方根：通常指的是非负的平方根，即只取正数部分。例如，9 的算术平方根是 3。

但题目中说“3a - 2b + 1 的算术平方根为 ±3”，这看起来有些矛盾。因为根据定义，算术平方根应为非负数，不应出现负数。不过，可能是题目表达方式有误，或者是希望我们从平方根的角度去理解。因此我们可以暂时将“算术平方根为 ±3”理解为“平方根为 ±3”。

二、解题过程

第一步：处理第一个条件

已知 2a - 1 的平方根为 ±3

这意味着：

$$

\sqrt{2a - 1} = \pm 3

$$

两边平方得：

$$

2a - 1 = 9

$$

解这个方程：

$$

2a = 10 \Rightarrow a = 5

$$

第二步：代入第二个条件

已知 3a - 2b + 1 的平方根为 ±3

同样地，我们可以写成：

$$

\sqrt{3a - 2b + 1} = \pm 3

$$

两边平方得：

$$

3a - 2b + 1 = 9

$$

由于我们已经求出 a = 5，代入上式：

$$

3(5) - 2b + 1 = 9 \\

15 - 2b + 1 = 9 \\

16 - 2b = 9 \\

-2b = -7 \\

b = \frac{7}{2}

$$

三、结论

通过上述步骤，我们得出：

- $ a = 5 $

- $ b = \frac{7}{2} $

四、总结

本题考查了对平方根与算术平方根的理解，尤其是如何根据题意进行合理推断。虽然题目中提到“算术平方根为 ±3”略显矛盾，但从数学逻辑出发，我们将其理解为“平方根为 ±3”，从而顺利解出结果。

在今后的学习中，遇到类似问题时，应仔细分析题目的用词，结合数学定义灵活应对，才能准确解答。