【函数奇偶性加减乘除判定口诀】在学习函数的奇偶性时，很多同学会遇到这样的问题：当两个函数进行加减乘除运算后，结果是否仍保持奇偶性？为了便于记忆和理解，这里整理了一套“函数奇偶性加减乘除判定口诀”，并结合实例进行说明，帮助大家快速掌握相关规律。
一、基本概念回顾
- 奇函数：满足 $ f(-x) = -f(x) $，图像关于原点对称。
- 偶函数：满足 $ f(-x) = f(x) $，图像关于 y 轴对称。
- 非奇非偶函数：既不满足奇函数条件，也不满足偶函数条件。
二、加减法判定口诀
| 运算类型 | 判定规则 | 示例 |
| 奇 + 奇 | 奇 | $ f(x) = x^3 $, $ g(x) = x $, $ f(x)+g(x) = x^3 + x $ 是奇函数 |
| 偶 + 偶 | 偶 | $ f(x) = x^2 $, $ g(x) = 3 $, $ f(x)+g(x) = x^2 + 3 $ 是偶函数 |
| 奇 + 偶 | 非奇非偶 | $ f(x) = x $, $ g(x) = x^2 $, $ f(x)+g(x) = x + x^2 $ 是非奇非偶函数 |
> 口诀：奇奇相加还是奇，偶偶相加还是偶，奇偶相加非奇偶。
三、乘法判定口诀
| 运算类型 | 判定规则 | 示例 |
| 奇 × 奇 | 偶 | $ f(x) = x $, $ g(x) = x^3 $, $ f(x)\cdot g(x) = x^4 $ 是偶函数 |
| 偶 × 偶 | 偶 | $ f(x) = x^2 $, $ g(x) = x^4 $, $ f(x)\cdot g(x) = x^6 $ 是偶函数 |
| 奇 × 偶 | 奇 | $ f(x) = x $, $ g(x) = x^2 $, $ f(x)\cdot g(x) = x^3 $ 是奇函数 |
> 口诀：奇奇变偶，偶偶还偶，奇偶变奇。
四、除法判定口诀（注意定义域）
| 运算类型 | 判定规则 | 示例 |
| 奇 ÷ 奇 | 偶 | $ f(x) = x $, $ g(x) = x^3 $, $ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{x^2} $ 是偶函数 |
| 偶 ÷ 偶 | 偶 | $ f(x) = x^2 $, $ g(x) = x^4 $, $ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{x^2} $ 是偶函数 |
| 奇 ÷ 偶 | 奇 | $ f(x) = x $, $ g(x) = x^2 $, $ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{x} $ 是奇函数 |
> 口诀：奇奇变偶，偶偶还偶，奇偶变奇。
> 注意：除法时需考虑分母不能为零，可能影响函数定义域，从而影响奇偶性判断。
五、总结表格
| 运算类型 | 结果奇偶性 | 口诀 |
| 奇 + 奇 | 奇 | 奇奇相加还是奇 |
| 偶 + 偶 | 偶 | 偶偶相加还是偶 |
| 奇 + 偶 | 非奇非偶 | 奇偶相加非奇偶 |
| 奇 × 奇 | 偶 | 奇奇变偶 |
| 偶 × 偶 | 偶 | 偶偶还偶 |
| 奇 × 偶 | 奇 | 奇偶变奇 |
| 奇 ÷ 奇 | 偶 | 奇奇变偶 |
| 偶 ÷ 偶 | 偶 | 偶偶还偶 |
| 奇 ÷ 偶 | 奇 | 奇偶变奇 |
六、小贴士
- 在实际应用中，要先判断原始函数的奇偶性，再根据上述规则进行推导。
- 对于复杂函数，可尝试代入 $ -x $ 进行验证，确保结论正确。
- 有些函数可能是“非奇非偶”，这在加减乘除中也有可能出现，需具体分析。
通过以上口诀与表格，可以快速判断函数在加减乘除后的奇偶性，是数学学习中一个非常实用的小技巧。希望对你有所帮助！
