【基本不等式公式有哪四个】在数学学习中，基本不等式是解决最值、证明不等式以及优化问题的重要工具。常见的基本不等式主要包括以下四种：均值不等式、柯西不等式、排序不等式和三角不等式。这些不等式在代数、几何、分析等多个领域都有广泛应用。

为了更清晰地理解这四个基本不等式，下面将逐一进行总结，并以表格形式展示它们的定义、适用条件及典型应用。

一、均值不等式（AM ≥ GM）

定义：对于任意非负实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：

$$

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

$$

等号成立条件：当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $。

典型应用：求函数的最小值或最大值，如在优化问题中使用。

二、柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）

定义：对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有：

$$

(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2

$$

等号成立条件：当且仅当存在常数 $ k $，使得 $ a_i = k b_i $（对所有 $ i $）。

典型应用：在向量内积、函数空间、概率论中广泛应用。

三、排序不等式（Rearrangement Inequality）

定义：设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则：

$$

a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1

$$

其中 $ \sigma $ 是 $ 1, 2, \ldots, n $ 的一个排列。

典型应用：用于比较不同排列下的乘积和大小关系，常用于竞赛题。

四、三角不等式（Triangle Inequality）

定义：对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：

$$

$$

等号成立条件：当且仅当 $ a $ 与 $ b $ 同号或至少有一个为零。

典型应用：在绝对值、向量长度、距离计算中广泛使用。

总结表格

通过掌握这四种基本不等式，可以更高效地解决许多数学问题，并为进一步学习高等数学打下坚实基础。