【阶乘的公式是什么】阶乘是数学中一个常见的概念，尤其在组合数学、概率论和排列组合问题中广泛应用。阶乘用于计算某个数的所有小于等于该数的正整数的乘积。下面我们将通过和表格形式，详细说明阶乘的定义、公式及其应用。
一、阶乘的定义
阶乘（Factorial）是一个正整数 n 的所有小于或等于 n 的正整数的乘积。用符号表示为 n!，读作“n 的阶乘”。
例如：
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
- 3! = 3 × 2 × 1 = 6
- 1! = 1
- 0! = 1 （这是一个特殊的定义，通常被接受为 1）
二、阶乘的公式
阶乘的数学公式如下：
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
$$
其中，n 是一个非负整数。
对于 n = 0，我们特别规定：
$$
0! = 1
$$
这个规定在组合数学中非常重要，尤其是在计算排列组合时。
三、阶乘的性质
1. 递推关系：
$$
n! = n \times (n - 1)!
$$
2. 阶乘增长迅速：
阶乘的增长速度远高于指数函数，因此即使对较小的数，阶乘也会迅速变得非常大。
3. 阶乘在组合数学中的应用：
阶乘常用于计算排列数和组合数，例如：
- 排列数：$ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $
- 组合数：$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $
四、常见阶乘值表
| 数字 n | 阶乘 n! |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
五、总结
阶乘是一种重要的数学工具，广泛应用于排列组合、概率分析等领域。其基本公式为：
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 1
$$
需要注意的是，0! 被定义为 1，这一规则在数学中具有重要意义。通过了解阶乘的性质和常见值，可以更好地理解和应用这一概念。
