【排列组合公式】在数学中，排列组合是研究从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的计算方法。它广泛应用于概率论、统计学、计算机科学等领域。掌握排列与组合的基本公式，有助于我们更高效地解决实际问题。
一、基本概念
- 排列（Permutation）：从n个不同元素中取出k个元素，按照一定顺序排成一列，称为排列。
- 组合（Combination）：从n个不同元素中取出k个元素，不考虑顺序，称为组合。
二、排列组合公式总结
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 排列 | $ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $ | 从n个元素中取k个进行排列 |
| 全排列 | $ n! $ | 从n个元素中全部取出进行排列 |
| 组合 | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ | 从n个元素中取k个进行组合 |
| 重复排列 | $ n^k $ | 每个位置可以重复选择元素 |
| 重复组合 | $ C(n + k - 1, k) $ | 允许重复选择元素的组合方式 |
三、常见应用场景
- 排列：如安排座位、密码设置、比赛名次等。
- 组合：如选课、抽奖、抽签等。
四、实例解析
例1：从5个人中选出3人组成一个小组，有多少种不同的组合方式？
解：使用组合公式
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{20}{2} = 10
$$
答：共有10种不同的组合方式。
例2：从4个字母A、B、C、D中取出2个进行排列，有多少种方式？
解：使用排列公式
$$
P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 12
$$
答：共有12种不同的排列方式。
五、注意事项
- 排列与组合的核心区别在于是否考虑顺序。
- 当题目中提到“选出来后还要排序”时，应使用排列；若只是“选出来”，则使用组合。
- 在实际应用中，需要根据题意判断是否允许重复选择元素。
通过理解并熟练运用排列组合公式，我们可以更准确地分析和解决现实中的选择与排序问题，提高逻辑思维能力与数学应用水平。
