【向量公式汇总】在数学、物理和工程等领域中，向量是一个非常重要的概念。它不仅可以表示大小和方向，还可以用于计算空间中的各种关系。为了方便学习和查阅，以下是对常用向量公式的总结，涵盖基本运算、几何应用以及向量之间的关系。
一、向量的基本概念
| 名称 | 定义 | ||
| 向量 | 具有大小和方向的量，通常用箭头符号表示，如 $\vec{a}$ 或 $\mathbf{a}$ | ||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ |
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$（当 $\vec{a} \neq \vec{0}$） |
二、向量的加减法
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ | 向量相加按分量相加 |
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$ | 向量相减按分量相减 |
| 向量加法性质 | $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$；$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ | 满足交换律和结合律 |
三、向量的数乘
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$ | 数乘向量是将每个分量乘以标量 $k$ |
| 数乘性质 | $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$；$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$ | 满足分配律和结合律 |
四、向量的点积（内积）
| 运算 | 公式 | 说明 | ||||
| 点积定义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 向量对应分量相乘后求和 | ||||
| 点积几何意义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | $\theta$ 是两向量夹角 | |
| 点积性质 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$；$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ | 满足交换律和分配律 |
五、向量的叉积（外积）
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 叉积定义 | $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ | 通过行列式计算 |
| 叉积结果 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | 结果是一个与原向量垂直的向量 |
| 叉积性质 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$；$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | 不满足交换律，但满足分配律 |
六、向量的混合积
| 运算 | 公式 | 说明 | ||||||||
| 混合积 | $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ | 表示三个向量组成的平行六面体体积的绝对值 | ||||||||
| 性质 | $ | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | = | \vec{a} | \vec{b} | \vec{c} | \sqrt{1 - \cos^2\alpha - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}$ | 当三向量共面时，混合积为零 |
七、向量的投影与分解
| 运算 | 公式 | 说明 | ||
| 向量在某方向上的投影 | $\text{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{ | \vec{u} | ^2} \vec{u}$ | 将向量 $\vec{v}$ 投影到单位向量 $\vec{u}$ 上 |
| 向量分解 | $\vec{v} = \text{proj}_{\vec{u}} \vec{v} + \vec{w}$ | $\vec{w}$ 为与 $\vec{u}$ 垂直的分量 |
八、向量的应用举例
| 应用场景 | 公式示例 |
| 力的合成 | $\vec{F}_{\text{总}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ |
| 速度合成 | $\vec{v}_{\text{总}} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$ |
| 功的计算 | $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ |
| 扭矩计算 | $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ |
通过以上总结可以看出，向量公式不仅是理论分析的基础，也是实际问题建模的重要工具。掌握这些公式有助于提高对物理、工程和数学问题的理解和解决能力。希望这份向量公式汇总能为大家的学习和工作提供帮助。
