【三角函数的公式大全】在数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本定义
三角函数是基于直角三角形边角关系定义的，也可以通过单位圆来推广到任意角度。以下是六个基本三角函数的定义：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
三角函数之间存在一些基本的恒等关系，这些公式在化简和求解过程中非常有用。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割与余弦关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
当角度发生变化时，三角函数值也会相应变化，这些公式称为诱导公式。
| 角度变化 | 三角函数值变化 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
四、和差公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
| 三倍角公式 | $ \sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $ $ \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $ |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积
这些公式常用于简化三角函数的乘积或和的形式。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
八、反三角函数基本公式
反三角函数是三角函数的反函数，用于求角的大小。
| 函数名称 | 表达式 |
| 反正弦（arcsin） | $ y = \arcsin x \Rightarrow x = \sin y $, $ -1 \leq x \leq 1 $, $ -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} $ |
| 反余弦（arccos） | $ y = \arccos x \Rightarrow x = \cos y $, $ -1 \leq x \leq 1 $, $ 0 \leq y \leq \pi $ |
| 反正切（arctan） | $ y = \arctan x \Rightarrow x = \tan y $, $ x \in \mathbb{R} $, $ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $ |
总结
以上内容涵盖了三角函数的主要公式，包括基本定义、恒等式、诱导公式、和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积以及反三角函数的基本知识。掌握这些公式，不仅有助于提升数学思维能力，也能为后续的学习打下坚实基础。建议结合实际题目进行练习，以加深理解和记忆。
